Question

13．已知点G是△ABC的重心，在线段AC上取一点E，在线段AB上取一点F，若EF过G．求证：$\frac{|BF|}{|FA|}$+$\frac{|CE|}{|EA|}$=1．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，结合图形，设$\frac{\overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{FA}}$=λ，$\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}$=μ，求出$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{1+μ}$$\overrightarrow{AC}$；根据G是△ABC的重心，得出$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
根据E、F、G三点共线，得出$\overrightarrow{AG}$=k$\overrightarrow{AE}$+（1-k）$\overrightarrow{AF}$，由此求出λ+μ的值．

解答 证明：如图所示，
设$\frac{\overrightarrow{BF}}{\overrightarrow{FA}}$=λ，$\frac{\overrightarrow{CE}}{\overrightarrow{EA}}$=μ，
∴$\frac{\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{FA}}{\overrightarrow{FA}}$=λ+1，即$\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{FA}}$=λ+1，
∴$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{λ+1}$$\overrightarrow{BA}$，即$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，
同理$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{1+μ}$$\overrightarrow{AC}$；
又G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
又E、F、G三点共线，
设$\overrightarrow{AG}$=k$\overrightarrow{AE}$+（1-k）$\overrightarrow{AF}$，
则$\overrightarrow{AG}$=$\frac{k}{1+μ}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1-k}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{1+μ}=\frac{1}{3}}\\{\frac{1-k}{1+λ}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=2-3k}\\{μ=3k-1}\end{array}\right.$，
∴λ+μ=1，即$\frac{|BF|}{|FA|}$+$\frac{|CE|}{|EA|}$=1．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了定比分点与三点共线的应用问题，是中档题目．