Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=1，a₉=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₉）+2，则曲线y=f（x）在点（0，f（0）） 的切线的斜率为

 

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Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的性质得到a₁a₉=a₂a₈=a₃a₇=a₄a₆，把已知的a₁=1，a₉=4代入，求出a₁•a₂•…•a₉的值，然后由函数解析式，利用求导法则求出f′（x），并把x=0代入导函数中，表示出f′（0），利用乘法运算律整理后，将求出a₁•a₂•…•a₉的值代入，利用同底数幂的运算法则化简后，得出f′（0）的值，即为函数在（0，f（0））处的斜率．

解答： 解：∵等比数列{a_n}中，a₁=1，a₉=4，
∴a₁a₉=a₂a₈=a₃a₇=a₄a₆=4=2²，
且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₉）+2，
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₉）=-a₁•a₂•…•a₉，
=（a₁a₉）•（a₂a₈）•…•（a₄a₆）（a₅）
=-2²•2²•2²•2²•2=-2⁹=-512，
∴函数f（x） 在点（0，f（0））处的切线斜率为-512．
故答案为：-512．

点评：此题考查了等比数列的性质，求导法则，利用导数研究曲线上某点的切线方程，以及直线的点斜式方程，其中利用等比数列的性质及求导法则求出f′（0）的值即切线方程的斜率是解本题的关键．属于中档题．