Question

4．由1，2，3，4，5，6等6个数可组成120个无重复且是6的倍数的5位数．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得符合条件的5位数必须是偶数且能被3整除，首先在在1，2，3，4，5，6中任取5个，组成5位数，分析可得由其组成的5位数可以被3整除的情况有“1，2，3，4，5”、“1，2，4，5，6”2种情况，进而据此分2种情况讨论，分别求出每一种情况的5位数的个数，由分类加法原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，若一个数是6的倍数的5位数，则它必须是偶数且能被3整除，
在1，2，3，4，5，6中任取5个，组成5位数，有C₆⁵=6种取法，
依次为“1，2，3，4，5”、“1，2，3，4，6”、“1，2，3，5，6”、“1，2，4，5，6”、“1，3，4，5，6”、“2，3，4，5，6”；
其中组成5位数可以被3整除的有“1，2，3，4，5”、“1，2，4，5，6”，共2种，
分2种情况讨论：
①、如果取出5个数字是“1，2，3，4，5”，
其个位必须是偶数，即2、4其中1个，有2种情况，
剩余4个数字安排在其余4个数位，有A₄⁴=24种情况，
则此时共有2×24=48个无重复且是6的倍数的5位数；
②、如果取出5个数字是“1，2，4，5，6”，
其个位必须是偶数，即2、4、6其中1个，有3种情况，
剩余4个数字安排在其余4个数位，有A₄⁴=24种情况，
则此时共有3×24=72个无重复且是6的倍数的5位数；
综合可得，一共有48+72=120个无重复且是6的倍数的5位数；
故答案为：120．

点评 本题考查排列、组合的应用，解答的关键是分析出“6的倍数”的5位数的特点，进而利用排列组合数公式进行分析．