Question

2．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+6\\;x≤1}\\{2+lo{g}_{a}（x+1）\\;x＞1}\end{array}\right.$（其中a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． [1，2]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 x≤1时，可得到f（x）≥4，而f（x）的值域为[4，+∞），从而判断a＞1，这样在x＞1时，能得到f（x）＞2+log_a2，从而便有2+log_a2≥4，这样根据a＞1即可求出实数a的取值范围．

解答 解：①x≤1时，f（x）=-2x+6≥4；
②x＞1时，f（x）=2+log_a（x+1）；
∵f（x）的值域为[4，+∞）；
∴a＞1；
此时，f（x）＞2+log_a2；
∴2+log_a2≥4；
∴$lo{g}_{a}2≥2=lo{g}_{a}{a}^{2}$；
∴2≥a²；
又a＞1；
∴$1＜a≤\sqrt{2}$；
∴实数a的取值范围为$（1，\sqrt{2}]$．
故选：A．

点评 考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，不等式的性质，以及根据对数函数的单调性解不等式．