Question

19．（1）已知不等式（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）≥9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值．
（2）记F（x）=x+y-a（x+2$\sqrt{2xy}$），x，y∈R⁺，若对任意的x，y∈R⁺，恒有F（x，y）≥0，请求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）题目转化为（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）的最小值≥9，而（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$，由基本不等式可得；
（2）问题转化为a≤$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$的最小值，变形并由基本不等式可得$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$≥$\frac{\frac{1}{2}x+2\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+2\sqrt{2xy}）}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{1}{2}$，注意等号成立的条件即可．

解答 解：（1）∵不等式（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）≥9对任意正实数x，y恒成立，
∴只需（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）的最小值≥9即可，
∵（x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=（$\sqrt{a}$+1）²，
∴（$\sqrt{a}$+1）²≥9，解得a≥4
∴正实数a的最小值为4；
（2）由题意可得对任意的x，y∈R⁺，恒有F（x，y）=x+y-a（x+2$\sqrt{2xy}$）≥0，
∴a≤$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$恒成立，只需a≤$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$的最小值即可，
∵$\frac{x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+y}{x+2\sqrt{2xy}}$≥$\frac{\frac{1}{2}x+2\sqrt{\frac{1}{2}xy}}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{\frac{1}{2}（x+2\sqrt{2xy}）}{x+2\sqrt{2xy}}$=$\frac{1}{2}$
当且仅当$\frac{1}{2}$x=y时取等号，∴实数a的取值范围为a≤$\frac{1}{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和分离常数法，属中档题．