Question

16．已知{a_n}为等比数列．
（1）若a_n＞0，且a₂a₄+2a₃a₅+a₄+a₆=36，求a₃+a₅的值．
（2）若a₁+a₂+a₃=7，a₁a₂a₃=8，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由{a_n}是等比数列，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，利用等比数列的通项公式知a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，再由完全平方和公式知（a₃+a₅）²=25，再由a_n＞0，能求出a₃+a₅的值；
（2）由已知列式求出等比数列的首项和公比，进一步求出{a_n}的通项公式．

解答 解：（1）∵{a_n}是等比数列，a₂a₄+2a₃a₅+a₄a₆=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，即 （a₃+a₅）²=25．
再由a₃=a₁•q²＞0，a₅=a₁•q⁴＞0，q为公比，可得a₃+a₅=5；
（2））由a₁a₂a₃=8，得a₂³=8，即a₂=2，
代入a₁+a₂+a₃=7，得a₁+a₁q²=5，
又a₂=a₁q=2，解得：q=$\frac{1}{2}$或q=2．
q=$\frac{1}{2}$，a₁=4，a_n=$4•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n；q=2，a₁=1，a_n=2^n-1

点评 本题考查等比数列的性质，是基础题．解题时要认真审题，注意完全平方和公式的合理运用，属于中档题．