Question

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

Answer 1

分析：先整理

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

得b²=a²+c²-ac．进而利用余弦定理求得cosB的值，进而求得B，进而根据三角形内角和可知A+C=2B判断出A、B、C成等差数列．

解答：证明：A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：
∵

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

，
∴

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

=3，
∴

c

a+b

+

a

b+c

=1，
∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=a²+c²-ac．
在△ABC中，由余弦定理，得
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
∵0°＜B＜180°∴B=60°．
∴A+C=2B=120°，
∴A、B、C成等差数列．

点评：本题主要考查了等差关系的确定，余弦定理的应用和解三角形问题．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．