Question

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设复数z=sinA（sinA-sinC）+（sin²B-sin²C）i，且z在复平面内所对应的点在直线y=x上．
（1）求角B的大小；
（2）若sinB=cosAsinC，△ABC的外接圆的面积为4π，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）复数z所对应的点在直线y=x上，得出sinA（sinA-sinC）=sin²B-sin²C，化简后根据正弦定理得出a，b，c的关系式，再根据余弦定理求出cosB，求出角B．
（2）根据sinB=sin（A+C）及sinB=cosAsinC可求得cosCsinA=0，求出cosc=0，可知c为90°判断三角形为直角三角形．进而推断AB为外接圆的直径，由△ABC的外接圆的面积求出AB的长．进而求出AC，最后通过两个直角边的长求出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵复数z=sinA（sinA-sinC）+（sin²B-sin²C）i所对应的点在直线y=x上，
∴sinA（sinA-sinC）=sin²B-sin²C，
即sin²A-sin²B-+sin²C=sinAsinC，
由正弦定理，得a²+c²-b²=ac
∴cosB=

a2+c2- b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π）
∴B=

π

3

．
（2）∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
sinB=cosAsinC，
∴cosCsinA=0
∵A，C∈（0，π）
∴cosC=0，C=

π

2

直角三角形ABC中，AB为外接圆的直径．
∴π(

AB

2

)2=4π
∴AB=4
∵B=

π

3

∴BC=2，AC=2

3

∴S△ABC=

1

2

CA•CB=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用．解这道题的关键是通过正弦定理完成三角形边角的转化．