Question

8、对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，若∠C=90^o，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；
③在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||．
其中真命题的个数为（　　）

A、0

B、1

C、2

D、3

Answer 1

分析：首先分析题目任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|，
对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x₀，y₀）然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立．成立故正确．
对于②在△ABC中，若∠C=90^o，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，
对于③在△ABC中，用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于||AB||．成立，故可得到答案．

解答：解：对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|．
对于①若点C在线段AB上，设C点坐标为（x₀，y₀），x₀在x₁、x₂之间，y₀在y₁、y₂之间，
则||AC||+||CB||=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||．成立故正确．
对于②在△ABC中，若∠C=90^o，则||AC||²+||CB||²=||AB||²；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，
对于③在△ABC中，||AC||+||CB||=|x₀-x₁|+|y₀-y₁|+|x₂-x₀|+|y₂-y₀|＞|（x₀-x₁）+（x₂-x₀）|+|（y₀-y₁）+（y₂-y₀）|=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|=||AB||．
∴命题①③成立，
故答案选择C．

点评：此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．