题目内容

对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中,若∠C=90°,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
③在△ABC中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为(  )
分析:根据新定义A(x1,y1)、B(x2,y2)之间的“距离”:‖AB‖=
.
x1-x2
  
.
+
.
y1-y2
  
.
,对①②③逐个分析即可判断其正误.
解答:解:①,不妨设直线AB的方程为y=kx+b(k>0),令x2>x0>x1
∵点C(x0,y0)在线段AB上,
∴‖AC‖=
.
x0-x1
  
.
+
.
y0-y1
  
.
=(k+1)(x0-x1);
同理可得,‖CB‖=(k+1)(x2-x0),‖AB‖=(k+1)(x2-x1);
∵‖AC‖+‖CB‖=(k+1)(x0-x1)+(k+1)(x2-x0)=(k+1)(x2-x1)=‖AB‖;
故①正确;
②,∵在△ABC中,若∠C=90°,取C(1,1),A(3,2),则B在直线x+y=3上,不妨取B(0,3),
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3,‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3,‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4,
显然,‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖;故②错误;
③,取C(0,0),A(1,0),B(0,1),则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2,故③错误.
综上所述,其中真命题的个数为1.
故选B.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查分析法与排除法的应用,考查构造思想与推理运算能力,属于难题.
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