Question

15．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-7（x＜-1）}\\{\sqrt{x+1}（x≥-1）}\end{array}\right.$，若f（t）＜1，则使函数g（t）=t+$\frac{1}{at}$为减函数的a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• B． （0，$\frac{1}{9}$）
• C． （0，$\frac{1}{9}$]
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 根据分段函数，先求出-3＜t＜0，再根据g（t）=t+$\frac{1}{at}$为减函数，则g′（t）=1-$\frac{1}{a{t}^{2}}$≤0，在（-3，0）上恒成立，解得即可．

解答 解：当x＜-1时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-7＞f（-1）=-5，
当x≥-1时，f（x）=$\sqrt{x+1}$≥f（-1）=0，
∵f（t）＜1，
∴（$\frac{1}{2}$）^t-7＜1，或$\sqrt{t+1}$＜1，
解得-3＜t＜-1，-1≤t＜0，
∴-3＜t＜0，
∵g（t）=t+$\frac{1}{at}$为减函数，
∴g′（t）=1-$\frac{1}{a{t}^{2}}$≤0，在（-3，0）上恒成立，
∴$\frac{1}{a}$≥t²=9，
解得0＜a≤$\frac{1}{9}$，
故选：C．

点评 本题考查了分段函数和参数的取值范围，以及导数和函数的单调性的关系，属于中档题．