Question

10．已知函数f（x）=e^x-ax-1．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）=ln（e^x-1）-lnx，当x∈（0，+∞）时，不等式f（g（x））＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 利用导数判断函数单调性、函数不等式．

解答 （本小题满分12分）解：（1）f（x）=e^x-ax-1，f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增；-----------（2分）
当a＞0时，令f′（x）=e^x-a=0，得x=lna，则在（-∞，lna]上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．-----------（4分）
（2）不妨先证明0＜g（x）＜x （x＞0），即0＜ln（e^x-1）-lnx＜x，
先证   ln（e^x-1）-lnx＞0，即e^x＞x+1，显然成立．------------（6分）
再证 ln（e^x-1）-lnx＜x，只需证，e^x-1＜xe^x
设h（x）=xe^x-e^x+1，
则h′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe＞0，
即h（x）＞h（0）=0，0＜g（x）＜x得证．-----------（8分）
由当a≤0时，则f（x）在R上单调递增，可知，f（g（x））＜f（x），
当0＜a≤1时，lna≤0，又f（x）在（lna，+∞）上单调递增，f（g（x））＜f（x）
当a＞1时，f（x）在（0，lna）上单调递减，f（g（x））＞f（x）与条件不符．
综上a≤1．------------（12分）

点评 本题考查了（1）含参数函数单调性问题，（2）用了分析法处理函数不等式问题．