Question

4．设函数f（x）=|2x+2|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若?x∈R，f（x）+t³+2t≥0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+4，x≥2\\ 3x，-1＜x＜2\\-x-4，x≤-1\end{array}\right.$，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．
（2）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（-1）=-3，可得t³+2t-3≥0，即可求得实数t的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=|2x+2|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}x+4，x≥2\\ 3x，-1＜x＜2\\-x-4，x≤-1\end{array}\right.$
当x≤-1时，不等式即-x-4＜0，求得x＞-4，∴-4＜x≤-1．
当-1＜x＜2时，不等式即3x＜0，求得x＜0，∴-1＜x＜0．
当x≥2时，不等式即x+4＜0，求得x＜-4，不成立．
综上所述，f（x）＜0的解集为（-4，0）．
（2）由（1）知，f（x）最小值为-3，∴t³+2t-3≥0
∴（t-1）（t²+t+3）≥0，又∵t²+t+3＞0恒成立，
∴t≥1．

点评 主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．