Question

13．已知函数f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，则实数a的取值范围[0，1]．

Answer 1

分析 利用换元法，令2^x=t，$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$，是单调增函数，转化求勾勾函数在$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$是单调增区间，可得a的范围．

解答 解：函数f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，
当a=0时，函数在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增恒成立；
当a≠0时，令2^x=t，$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$，则函数t在[-$\frac{1}{2}$，3]上是单调递增．
那么：函数f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|转化为g（t）=|$2•t+\frac{a}{t}$|在$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$是单调递增，
根据勾勾函数的性质可知：
①当a＞0时，函数g（t）在（$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}$，+∞）单调递增，
故得：$\sqrt{\frac{a}{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：0＜a≤1．
②当a＜0时，g（t）=|$2•t+\frac{a}{t}$|的零点为t=$±\sqrt{\frac{a}{2}}$，
函数y=2t$+\frac{a}{t}$是定义域R上的增函数，
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}≤t≤8$，
∴只需$\sqrt{\frac{a}{2}}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：0＜a≤1．
故无解；
综上所得：实数a的取值范围是[0，1]．

点评 本题考查了复合函数的单调性的综合运用能力，转化思想和讨论思想．属于中档题．