Question

3．如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=3$\sqrt{13}$km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=$\frac{3}{{\sqrt{13}}}$，AO=15km．
（1）求大学M在站A的距离AM；
（2）求铁路AB段的长AB．

Answer 1

分析 （1）在△AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；
（2）由cos$β=\frac{3}{\sqrt{13}}$，且β为锐角，可求sinβ，由正弦定理可得sin∠MAO，结合tanα=2，可求sinα，cosα，sin∠ABO，sin∠AOB，结合AO=15，由正弦定理即可解得AB的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，OM=3$\sqrt{13}$，
由余弦定理可得：AM²=OA²+OM²-2OA•OM•cos∠AOM=（3$\sqrt{13}$）²+15²-2×$3\sqrt{13}$×15×$\frac{3}{\sqrt{13}}$=72．
所以可得：AM=6$\sqrt{2}$，大学M在站A的距离AM为6$\sqrt{2}$km．…6分
（2）∵cos$β=\frac{3}{\sqrt{13}}$，且β为锐角，
∴sinβ=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
在△AOM中，由正弦定理可得：$\frac{AM}{sinβ}$=$\frac{OM}{sin∠MAO}$，即$\frac{6\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{13}}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{sin∠MAO}$，
∴sin∠MAO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠MAO=$\frac{π}{4}$，
∴∠ABO=α-$\frac{π}{4}$，
∵tanα=2，
∴sin$α=\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠ABO=sin（$α-\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
又∵∠AOB=π-α，
∴sin∠AOB=sin（π-α）=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
在△AOB中，AO=15，由正弦定理可得：$\frac{AB}{sin∠AOB}$=$\frac{AO}{sin∠ABO}$，即$\frac{AB}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{15}{\frac{1}{\sqrt{10}}}$，
∴解得AB=30$\sqrt{2}$，即铁路AB段的长AB为30$\sqrt{2}$km．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式，诱导公式的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题．