Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{sin（\frac{π}{4}x），2≤x≤10}\end{array}\right.$，若存在实数x₁，x₂，x₃，x₄满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范围是（　　）

• A． （9，21）
• B． （20，32）
• C． （8，24）
• D． （15，25）

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，确定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10，由此可得$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范围．

解答 解：函数的图象如图所示，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴-log₂x₁=log₂x₂，
∴log₂x₁x₂=0，
∴x₁x₂=1，
∵f（x₃）=f（x₄），
∴x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10
∴$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=x₃x₄-（x₃+x₄）+1=x₃x₄-11，
∵2＜x₃＜x₄＜10
∴$\frac{（{x}_{3}-1）•（{x}_{4}-1）}{{x}_{1}•{x}_{2}}$的取值范围是（9，21）．
故选：A

点评 本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．