Question

给出下列四个结论：
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=

1

2

+

1

2x-1

（x≠0）是奇函数；
③函数f（x）=2^x-x²有两个零点；
④函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e^x关于y轴对称，则f（x）=e^-x-1．
其中正确结论的序号是

 

．（填写你认为正确的所有结论序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：①中，求出两函数y=a^x（a＞0且a≠1）、y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域，判定①正确；
②中，由奇偶性的定义判定f（x）=

1

2

+

1

2x-1

是奇函数，得出②正确；
③中，由函数y=2^x，y=x²的图象交点的情况，判定函数f（x）=2^x-x²的零点个数，得出③错误；
④中，由函数的图象对称与平移的知识，得出函数f（x）的解析式，判定④正确．

解答： 解：对于①，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的定义域是R，函数y=log_aa^x=xlog_aa=x（a＞0且a≠1），它的定义域是R，
∴定义域相同；∴①正确．
对于②，f（-x）=

1

2

+

1

2-x-1

=

1

2

+

2x

1-2x

=-

1

2

+

1

1-2x

=-（

1

2

+

1

2x-1

）=-f（x），
∴f（x）是定义域上的奇函数；∴②正确．
对于③，考查函数y=2^x，y=x²的图象，如图，
y=2^x和y=x²有3个交点，∴函数f（x）=2^x-x²有3个零点；∴③错误．
对于④，与y=e^x的图象关于y轴对称的函数是y=e^-x，该函数图象向左平移1个单位长度，得到函数f（x）=e^-（x+1）=e^-x-1的图象，∴④正确．
故答案为：①②④

点评：本题通过命题真假的判定，考查了求函数的定义域，判定函数的奇偶性，判定函数的零点以及函数图象对称与平移的问题，是综合性题目．