Question

【题目】已知函数．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）当时，求证：；

（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明；（3）见解析

【解析】

（1）根据题意求出函数的导函数，表示出切点的纵坐标，根据导数的几何意义列出方程，由此即可求出切点的横坐标；

（2）设，求出函数的导函数，令，列出表格，观察即可判断出函数的最小值，从而证明；

（3）根据题意，构造出函数，求出函数的导函数，分情况讨论b的取值范围，当b≤0，根据与0的关系判断出的零点个数；其次当b>0时，结合x的范围判断出函数的单调性，这里要注意当x>2时，根据b的范围即、和来判断的零点，由此即可知的零点个数.

（1）． 因为切线过原点，

所以 ，解得：．

（2）设，则．

令，解得．

在上变化时，的变化情况如下表

x	(0,2)	2
	-	0	+

所以 当 时，取得最小值．

所以 当时，，即．

（3）等价于，等价于．注意．

令，所以．

（I）当时， ，所以无零点，即在定义域内无零点．

（II）当时，（i）当时，，单调递增；

因为在上单调递增，而，

又，所以．

又因为，其中，

取，表示的整数部分．所以，，由此．

由零点存在定理知，在上存在唯一零点．

（ii）当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

所以当时，有极小值也是最小值，．

①当，即时，在上不存在零点；

②当，即时，在上存在唯一零点2；

③当，即时，由有，

而，所以在上存在唯一零点；

又因为，．

令，其中，，，，

所以，因此在上单调递增，从而，

所以在上单调递增，因此，

故在上单调递增，所以．

由上得，由零点存在定理知，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点．

综上所述：当时，函数的零点个数为0；

当时，函数的零点个数为1；

当时，函数的零点个数为2；

当时，函数的零点个数为3．