Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线经过点，其倾斜角为，以原点为极点，以轴为非负半轴为极轴，与坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线的极坐标方程为.

（1）若直线与曲线有公共点，求倾斜角的取值范围；

（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．

（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，参数方程为，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．

详解：（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，

直线的参数方程为（为参数），

将参数方程代入，整理，

∵直线与曲线有公共点，∴，

∴，或，∵，

∴的取值范围是

（2）曲线的方程可化为，

其参数方程为（为参数），

∵为曲线上任意一点，

∴ ，

∴的取值范围是