Question

已知常数a＞0，函数f（x）=

x

x2+a

（1）求f（x）的单调区间；
（2）求g（x）=

x+1

x2+2x+3

，x∈[-1，1]的最大值、最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求函数f（x）的导数，利用导数即可求f（x）的单调区间；
（2）根据余弦函（1）的结论，利用换元法将求g（x）=

x+1

x2+2x+3

，x∈[-1，1]转化为f（x）形式，即可求出函数的最大值、最小值

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

x2+a

，
∴函数的导数f′（x）=

x2+a-x•2x

(x2+a)2

=

-x2+a

(x2+a)2

=

-(x- a )(x+ a )

(x2+a)2

，
由f′（x）＞0得-

a

＜x＜

a

，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＜-

a

或x＞

a

，此时函数单调递减，
故函数单调递增区间为[-

a

，

a

]，单调递减区间为（-∞，-

a

]和[

a

，+∞）．
（2）g（x）=

x+1

x2+2x+3

=

x+1

(x+1)2+2

=，x∈[-1，1]，
设t=x+1，则t∈[0，2]，
即函数g（x）等价为m（t）=

t

t2+2

，
由（1）知此时a=2，则函数在[-

2

，

2

]上单调递增，在[

2

，+∞）上递减，
则当t=

2

时，函数取得极大值同时也是最大值m（

2

）=

2

( 2 )2+2

=

2

4

∵m（0）=0，m（2）=

2

4+2

=

2

6

=

1

3

，则最小值为0，
故函数g（x）的最大值为

2

4

、最小值0．

点评：本题主要考查函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决函数单调性和最值的关键．