Question

4．证明函数f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1的值恒为正值．

Answer 1

分析 分类讨论，将代数式变形，即可证明结论．

解答 证明：x≥1时，f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁵（x³-1）+x（x-1）+1=x⁵（x-1）（x²+x+1）+x（x-1）+1≥0+0+1＞1，
0≤x＜1时，f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=1-x+x²（1-x³）+x⁸=1-x+x²（1-x）（1+x+x²）+x⁸＞0，
x＜0时，f（x）=x⁸-x⁵+x²-x+1=x⁸+（-x）⁵+x²+（-x）+1＞0．
总之 f（x）＞0 恒成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．