Question

12．方程x²-mnx+m+n=0有整数根，且m．n为自然数，则m、n的有几对，试求出来．

Answer 1

分析 设方程两整数根为x₁，x₂，则x₁+x₂=mn≥0，x₁•x₂=m+n≥0，再根据（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，即可进行求解．

解答 解：设方程的整数根为x₁，x₂，则x₁+x₂=mn≥0，x₁•x₂=m+n＞0，
∴x₁，x₂均为正数，且（x₁-1）（x₂-1）+（m-1）（n-1）=2，
∴（x₁-1）（x₂-1），（m-1）（n-1）均非负，
∴（m-1）（n-1）=0或（m-1）（n-1）=1或（m-1）（n-1）=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了根与系数关系，难度适中．