Question

14．设a，b是关于t的方程t²cosθ+t sinθ=0的两个不等实数根，则过A（a，a²），B（b，b²）两点的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1的公共点的个数为0．

Answer 1

分析 求出过A（a，a²），B（b，b²）两点的直线为y=-tanθx，结合双曲线的渐近线方程，可得结论．

解答 解：∵a，b是关于t的方程t²cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，
∴a+b=-tanθ，ab=0，
过A（a，a²），B（b，b²）两点的直线为y-a²=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{b-a}$（x-a），即y=（b+a）x-ab，
即y=-tanθx，
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1的一条渐近线方程为y=-tanθx，
∴过A（a，a²），B（b，b²）两点的直线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1的公共点的个数为0．
故答案为：0

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．