Question

16．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（ I）求证：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）是否存在直线与直线 AA₁，CC₁，BD₁都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，推导出D₁D⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥BD₁．
（Ⅱ）作出满足条件的直线一定在平面ACC₁A₁中，且过BD₁的中点并与直线A₁A，C₁C相交．

解答 （本题满分9分）
（Ⅰ）证明：如图，连结BD．
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴D₁D⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴D₁D⊥AC．
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵BD∩D₁D=D，∴AC⊥平面BDD₁．
∵BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁．…（5分）
（Ⅱ）存在．答案不唯一，
作出满足条件的直线一定在平面ACC₁A₁中，
且过BD₁的中点并与直线A₁A，C₁C相交．
下面给出答案中的两种情况，
其他答案只要合理就可以给满分．（9分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的直线的作法，是中档题，解题时要认真题、注意空间思维能力的培养．