Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+t，t∈R．
（Ⅰ）如果函数f（x）是R上的奇函数，求实数t的值．
（Ⅱ）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（Ⅱ）根函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=$\frac{1}{2}$+t=0，
∴t=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）f（x）在R上的单调递增．
理由：任取：x₁＜x₂∈R，
∴$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}+1}}+t-（{\frac{{{2^{x_2}}}}{{{2^{{x_2}+1}}}}+t}）=\frac{{{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{{2^{x_2}}}}{{{2^{x_2}}+1}}$
=$\frac{{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，
又${2}^{{x}_{1}}+1$＞0，${2}^{{x}_{2}}+1＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在R上的单调递增．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．