Question

4．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，点（-4，-6）在双曲线上，直线1的方程为x-my-4=0．
（1）求双曲线的方程；
（2）若l与双曲线的右支相交于A，B两点，试证：以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交．

Answer 1

分析 （1）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由渐近线方程可得直线的斜率，由点满足双曲线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程；
（2）联立直线方程和双曲线方程，消去x，得到y的方程，运用判别式大于0，韦达定理和中点坐标公式可得AB的中点，求得双曲线的右准线方程，可得圆心到准线的距离d，再由双曲线的第二定义可得AB的长，可得圆的半径r，即可比较d，r的大小，即可得证．

解答 解：（1）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得$\frac{b}{a}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，$\frac{16}{{a}^{2}}$-$\frac{36}{{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）证明：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦点为（4，0），右准线方程为x=1，
由直线x=my+4代入双曲线的方程，可得
（3m²-1）y²+24my+36=0，
△＞0，即为（24m）²-4×36（3m²-1）＞0成立，
y₁+y₂=$\frac{24m}{1-3{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{36}{3{m}^{2}-1}$，
可得AB的中点M的纵坐标为$\frac{12m}{1-3{m}^{2}}$，
即有横坐标为x=$\frac{12{m}^{2}}{1-3{m}^{2}}$+4=$\frac{4}{1-3{m}^{2}}$＞0，
即有圆心M到准线的距离为$\frac{4}{1-3{m}^{2}}$-1=$\frac{3+3{m}^{2}}{1-3{m}^{2}}$，
由双曲线的第二定义可得|AB|=e（x₁-1+x₂-1）
=2（$\frac{8}{1-3{m}^{2}}$-2）=$\frac{12+12{m}^{2}}{1-3{m}^{2}}$，
由于3+3m²＜6+6m²，1-3m²＞0，
则有圆心M到准线的距离小于$\frac{1}{2}$|AB|，
故以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用渐近线方程和点满足方程，考查直线和圆的位置关系，运用圆心到直线的距离与半径的关系，考查双曲线的第二定义和联立直线方程，运用韦达定理及中点坐标公式，属于中档题．