题目内容
在直角坐标系中，角φ，2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，函数f（x）=
•
，若f（x）≤f（
）对任意x∈R恒成立
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期，对称轴方程与单调递增区间．
| OA |
| OB |
| π |
| 6 |
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期，对称轴方程与单调递增区间．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题
分析：（1）先求得A，B坐标，再利用利用向量的数量积公式，结合f（x）≤f（
）对x∈R恒成立，确定函数的解析式；
（2）利用余弦函数的性质，即可求函数f（x）的最小正周期，对称轴方程与单调递增区间．
| π |
| 6 |
（2）利用余弦函数的性质，即可求函数f（x）的最小正周期，对称轴方程与单调递增区间．
解答：
解：（1）∵角φ、2x的终边分别与单位圆（以原点O为圆心）交于A、B两点，
可得A（cosφ，sinφ），B（cos2x，sin2x）
∴f（x）=
•
，=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵f（x）≤f（
）对x∈R恒成立，
∴f（
）=1，即cos（2×
-φ）=1
∴φ-
=2kπ
∴φ=2kπ+
，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kπ+
）]=cos（2x-
），
即函数f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-
）．
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-
）．
最小正周期T=π．
令2x-
=kπ，k∈Z，得x=
+
，k∈Z，
∴f（x）的对称轴为x=x=
+
，k∈Z，
由2kπ-π≤2x-
≤2kπ，得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．
可得A（cosφ，sinφ），B（cos2x，sin2x）
∴f（x）=
| OA |
| OB |
∵f（x）≤f（
| π |
| 6 |
∴f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴φ-
| π |
| 3 |
∴φ=2kπ+
| π |
| 3 |
∴f（x）=cos[2x-（2kπ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
即函数f（x）的解析式为f（x）=cos（2x-
| π |
| 3 |
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-
| π |
| 3 |
最小正周期T=π．
令2x-
| π |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴f（x）的对称轴为x=x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
由2kπ-π≤2x-
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 6 |
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 4π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数性质，考查学生计算能力，属于中档题
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