Question

若A、B是椭圆

x2

4

+y²=1上两点，O为坐标原点，OH⊥AB于点H，又OA与OB斜率分别为k₁，k₂，且满足k₁•k₂=-

3

4

（1）求点H的轨迹方程
（2）求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设H（x₀，y₀），直线AB的方程为：y-y₀=-

x0

y0

(x-x0)，又AB：y=kx+m．从而k=-

x0

y0

，m=

x02+y02

y0

，y=kx+m代入x²+4y²-4=0中，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能求出点H轨迹方程．
（2）|x₁-x₂|=

4 16k2+1-m2

4k2+1

，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，O到AB的距离d=

|m|

1+k2

，由此能求出在对称轴

1

t

=

16

2×28

=

2

7

时，S_△OAB取最大值S_OAB=

11 7

14

．

解答： 解：（1）设H（x₀，y₀），OH⊥AB，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：y-y₀=-

x0

y0

(x-x0)，
又AB：y=kx+m．∴k=-

x0

y0

，m=

x02+y02

y0

，y≠0，
y=kx+m代入x²+4y²-4=0中，得：
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=4a²b²（k²a²+b²-m²）=16（4k²+1-m²），
∵y1y2+

3

4

x1x2=0，
∴（kx₁+m）（kx₂+m）+

3

4

x1x2=0，
∴（k 2+

3

4

）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
由韦达定定理代入上式，得：
3m2-4(

3

4

+k2)+m2=0，
m²=

1

4

(4k2+3)=k2+

3

4

，
∴(

x02+y02

y0

)2=(

x0

y0

)2+

3

4

，y₀≠0，
∴(x02+y02)2=x02+

3

4

y02，y₀≠0，
又k=-

x0

y0

不存在时，即在y₀=0时，
由k1•k2=-

3

4

知：设kOA=k1=

3

2

，
kOB=k2=-

3

2

，此时直线AB：x=±1，H点（±1，0）可取，
∴点H轨迹方程为(x2+y2)2=x2+

3

4

y2，去掉点（0，0）．
（2）|x₁-x₂|=

4 16k2+1-m2

4k2+1

，|AB|=

1+k2

|x1-x2|，
O到AB的距离d=

|m|

1+k2

，
S△OAB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

|x1-x2|•|m|
=2

k2+ 3 4

•

(16k2+1)-(k2+ 3 4 )

4k2+1

，
(

S△OAB

2

)2=

(k2+ 3 4 )(15k2+ 1 4 )

(4k2+1)2

，令4k²+1=t≥1，
则(

S△OAB

2

)2=

1

16

(-

28

t2

+

16

t

+15)，
在对称轴

1

t

=

16

2×28

=

2

7

时，S_△OAB取最大值，
最大值为S_OAB=

11 7

14

，此时k=±

10

4

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法．考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．