Question

15．若一个椭圆的长轴长是短轴长的3倍，焦距为8，则这个椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 若椭圆的焦点在x轴，可设出椭圆标准方程，并得到c，再由长轴长是短轴长的3倍可得a=3b，结合隐含条件a²=b²+c²求得a，b的值，则椭圆方程可求，若椭圆的焦点在y轴，同理可得椭圆方程．

解答 解：若椭圆的焦点在x轴，可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），且2c=8，即c=4．
又2a=6b，∴a=3b，
结合a²=b²+c²，得9b²=b²+16，∴b²=2，
则a²=9b²=18．
∴椭圆标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
若椭圆的焦点在y轴，同理可得$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了椭圆的简单几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．