Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设

m

=（1.1），

n

（-cosA，sinA），记f（A）=

m

•

n

．
（1）求f（A）的取值范围
（2）若

m

与

n

的夹角为

π

3

，C=

π

3

，c=

6

，求b的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）利用平面向量数量积运算法则列出f（A），利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（A）的范围即可；
（2）利用平面向量数量积运算求出

m

•

n

的值，确定出f（A）的值，进而求出A的度数，由C的度数求出B的度数，再由c，sinC，以及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答： 解：（1）∵

m

=（1，1），

n

（-cosA，sinA），
∴f（A）=

m

•

n

=-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

），
∵0＜A＜π，∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜sin（A-

π

4

）≤1，
则f（A）的取值范围为（-1，

2

]；
（2）∵

m

与

n

的夹角为

π

3

，
∴

m

•

n

=|

m

|×|

n

|×cos

π

3

=

2

×1×

1

2

=

2

2

，即-cosA+sinA=

2

sin（A-

π

4

）=

2

2

，
∴sin（A-

π

4

）=

1

2

，
∴A-

π

4

=

π

6

或A-

π

4

=

5π

6

（舍去），
解得：A=

5π

12

，
∵C=

π

3

，∴B=

π

4

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，即

6

sin π 3

=

b

sin π 4

，
解得：b=2．

点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．