Question

如图所示，已知过抛物线x²=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．
（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；
（2）设抛物线x²=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：
（3）设过抛物线x²=4y焦点F的直线l与椭圆

3y2

4

+

3x2

2

=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）如图所示，设线段AF的中点为O₁，过O₁作O₁O₂⊥x轴，垂足为点O₂，作AA₁⊥x轴．利用抛物线的定义及梯形的中位线定理可得可得r=

|AF|

2

=

|AA1|+ p 2

2

=

|AA1|+|OF|

2

=|O₁O₂|，即可证明；
（2）设直线AB的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立化为x²-4kx-4=0，可得根与系数的关系，由x²=4y，可得y′=

1

2

x．可得k_MA•k_MB=

x1x2

4

=-1，可得△MAB为直角三角形，可得△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M，利用中点坐标公式与根与系数的关系可得圆心P（2，3），半径r=|MP|=|3-（-1）|=4，即可得出所求的△MAB的外接圆的方程．
（3）假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，设

|AF|

|BF|

=

|DF|

|CF|

=λ，可得

AF

=λ

FB

，

DF

=λ

FC

，设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．利用向量的坐标运算可得x₁=-λx₂，x₄=-λx₃．把x₁=-λx₂代入根与系数的关系可得

λ

(λ-1)2

=

1

4k2

．把y=kx+1代入椭圆方程可得（3k²+6）x²+6kx-1=0，把根与系数的关系与x₄=-λx₃联立可得

λ

(λ-1)2

=

3k2+6

36k2

，联立解得即可．

解答： （1）证明：如图所示，设线段AF的中点为O₁，过O₁作O₁O₂⊥x轴，垂足为点O₂，作AA₁⊥x轴．
则r=

|AF|

2

=

|AA1|+ p 2

2

=

|AA1|+|OF|

2

=|O₁O₂|，
∴r=|O₁O₂|，
∴以AF为直径的圆与x轴相切；
（2）解：设直线AB的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y，可得y′=

1

2

x．
∴k_MA•k_MB=

x1x2

4

=-1，
∴MA⊥MB．
∴△MAB为直角三角形，∴△MAB的外接圆的圆心为线段AB的中点．
设线段AB的中点为P，可得⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M．
∴x_P=x_M=2，
∴

x1+x2

2

=2，2k=2，解得k=1．
y_p=

y1+y2

2

=

kx1+1+kx2+1

2

=

x1+x2+2

2

=3，
∴圆心P（2，3），又r=|MP|=|3-（-1）|=4，
∴所求的△MAB的外接圆的方程为：（x-2）²+（y-3）²=16．
（3）解：假设存在直线l使得|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，
设

|AF|

|BF|

=

|DF|

|CF|

=λ，则

AF

=λ

FB

，

DF

=λ

FC

，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
则（-x₁，1-y₁）=λ（x₂，y₂-1），（-x₄，1-y₄）=λ（x₃，y₃-1），
∴x₁=-λx₂，x₄=-λx₃．
把x₁=-λx₂代入x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，可得

λ

(λ-1)2

=

1

4k2

①．
把y=kx+1代入椭圆

3y2

4

+

3x2

2

=1的方程可得（3k²+6）x²+6kx-1=0，
∴x₃+x₄=-

6k

3k2+6

，x₃x₄=-

1

3k2+6

．
与x₄=-λx₃联立可得

λ

(λ-1)2

=

3k2+6

36k2

，②．
①②联立可得

1

4k2

=

3k2+6

36k2

，化为k²=1，解得k=±1．
因此满足条件的直线存在：y=±x+1．

点评：本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与抛物线椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算、圆的标准方程、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．