Question

已知函数f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）在定义域内是奇函数．
（1）求m，n的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3，2]的极值和最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）运用奇函数的定义，整理即得m=4，n=6；
（2）求出导数，令导数为0，求出极值点，判断极大值和极小值，比较端点的函数值，即可得到最值．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）在定义域内是奇函数，
则f（-x）=-f（x），
则有-x³+（m-4）x²+3mx+（n-6）=-x³+（4-m）x²+3mx+（6-n），
即有m-4=0，n-6=0，即m=4，n=6；
（2）f（x）=x³-12x，导数f′（x）=3x²-12，
令f′（x）=0，则x=±2，
由于x=-2处附近导数左正右负，则为极大值点，
由于x=2处附近导数左负右正，则为极小值点，
由于f（-2）=-8+24=16，f（2）=8-24=-16，f（-3）=-27+36=9，
故f（x）在区间[-3，2]的极大值为16，和最小值为-16，最大值为16．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的运用，考查导数的运用：求极值和最值，考查运算能力，属于中档题．