题目内容

同一平面内，有一组平行线L1，L2，L3，…，Ln，相邻两直线之间的距离都等于1，A是平面内一点，点A到直线L1的距离是2，B，C是直线L1上的不同2点，P1，P2，P3，…，Pn分别是直线L1，L2，L3，…，Ln上的点，向量
APn
=xn
AB
+yn
AC
（n∈N+），则x1+x2+x3+…+xn+y1+y2+y3+…+yn的值为
 
．
考点：平面向量的综合题
专题：归纳法,平面向量及应用
分析：利用特值法，分别令n=1，2，3，4…找到规律归纳猜测解之．
解答： 解：设B，C分别是L1上距离A相等的两个点，P1，P2，P3，…，Pn分别是直线L1，L2，L3，…，Ln上的点，与A在一条直线上且P1是BC的中点，
则
AP1
=x1
AB
+y1
AC
，x1+y1=1；
AP2
=x2
AB
+y2
AC
=
3
2
AP1
=
3
2
x1
AB
+
3
2
y1
AC
，∴x1+x2+y1+y2=1+
3
2
（x1+y1）=
5
2
，
AP3
=x3
AB
+y3
AC
=
4
2
AP1
=
4
2
x1
AB
+
4
2
y1
AC
，∴x1+x2+x3+y1+y2+y3=（1+
3
2
+
4
2
）（x1+y1）=
9
2
；
AP4
=x4
AB
+y4
AC
=
5
2
AP1
，∴x1+x2+x3+x4+y1+y2+y3+y4═（1+
3
2
+
4
2
+
5
2
）（x1+y1）=
14
2
；
…
∴
APn
=xn
AB
+yn
AC
=
n+1
2
（x1
AB
+y1
AC
），（n∈N+），则x1+x2+x3+…+xn+y1+y2+y3+…+yn=
2+3+4+n+1
2
=
n(n+3)
4
．
故答案为：
n(n+3)
4
．
点评：本题考查了向量的运算以及利用特值法、归纳法解决关于多个运算的问题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）满足f（x）+3f（-x）=8ax2-
2
x
 （a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数f（x）始终满足x1-x2与f（x1）-f（x2）同号（其中x1，x2∈[3，+∞），x1≠x2），求实数a
的取值范围．
下列四组中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（　　）
A、f（x）=1，g（x）=x0
B、f（x）=x-1，g（x）=
x2
x
-1
C、f（x）=x，g（x）=（
x
）2
D、f（x）=|1-2x|，g（x）=
(2x-1)2
f（x）是定义在R上的函数，已知f（x）=
f(x-1)，x＞0
2x，x≤0.
，则f（2013）=
 
．
已知集合A={2，3}，则集合A的非空真子集为
 
．
已知集合A={-1，2a+1}，集合B={-4，3}，且A∩B={3}，则a=
 
．
已知f（x）=asinx+
3x
+2，若f（ln2）=4，则f（ln
1
2
）=
 
．
（Ⅰ）解不等式|2+x|+|2-x|≤4；
（Ⅱ）a，b∈R+，证明：a2+b2≥
ab
（a+b）．
已知函数f（x）=|x2-1|+x．
（1）画出图象；
（2）写出它的单调区间；
（3）当x∈{-3，
3
2
}时，求函数y=f（x）的最大值和最小值．

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