Question

已知函数f（x）满足f（x）+3f（-x）=8ax²-

2

x

（a∈R）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若函数f（x）始终满足x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）同号（其中x₁，x₂∈[3，+∞），x₁≠x₂），求实数a
的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由f（x）+3f（-x）=8ax²-

2

x

（a∈R）．可得f（-x）+3f（x）=8ax²+

2

x

（a∈R）．联立解得即可．
（2）分类讨论：a=0与a≠0，利用函数的奇偶性定义即可判断出；
（3）法一：利用函数的单调性定义即可得出；
法二：利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）+3f（-x）=8ax²-

2

x

（a∈R）．
∴f（-x）+3f（x）=8ax²+

2

x

（a∈R）．
由两式可得f(x)=2ax2+

1

x

．
（2）f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞） 
当a=0时，f(x)=

1

x

，f(-x)=

1

-x

=-

1

x

=-f(x)，
∴a=0时f（x）为奇函数．
当a≠0时，f（-x）≠±f（x），
函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．）
（3）由题意可知函数f（x）在x∈[3，+∞上为增函数．
设3≤x₁＜x₂，要使函数f（x）在x∈[3，+∞）上为增函数，
法一：必须f(x1)-f(x2)=2a

x

2 1

+

1

x1

-2a

x

2 2

-

1

x2

=

(x1-x2)

x1x2

[2ax1x2(x1+x2)-1]＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞9，
∴2ax₁x₂（x₁+x₂）＞1．
∵x₁+x₂＞6，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞54．
∴

1

x1x2(x1+x2)

＜

1

54

 
要使a＞

1

2x1x2(x1+x2)

，
∴a的取值范围是[

1

108

，+∞)．
法二：f′(x)=4ax-

1

x2

≥0 在[3，+∞）上恒成立，
所以4a≥

1

x3

 在[3，+∞） 上恒成立，所以4a≥

1

27

，
所以a 的取值范围是[

1

108

，+∞)．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了利用导数研究函数的单调性和分离参数法，属于中档题．