Question

6．已知变换T将平面上的点$（{1，\frac{1}{2}}），（{0，1}）$分别变换为点$（{\frac{9}{4}，-2}），（{-\frac{3}{2}，4}）$．设变换T对应的矩阵为M．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的特征值．

Answer 1

分析 （1）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，由矩阵变换可得方程组，解方程即可得到所求；
（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），可得特征多项式，解方程可得特征值．

解答 解：（1）设M=$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$，则$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{\frac{1}{2}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{9}{4}}\\{-2}\end{array}]$，
$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}}\\{4}\end{array}]$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{2}b=\frac{9}{4}}\\{c+\frac{1}{2}d=-2}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{d=4}\end{array}\right.$，即a=3，b=-$\frac{3}{2}$，c=-4，d=4，
则M=$[\begin{array}{l}{3}&{-\frac{3}{2}}\\{-4}&{4}\end{array}]$；
（2）设矩阵M的特征多项式为f（λ），
可得f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-3}&{\frac{3}{2}}\\{4}&{λ-4}\end{array}|$=（λ-3）（λ-4）-6=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，可得λ=1或λ=6．

点评 本题考查矩阵变换和特征值的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想的运用，属于基础题．