Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA+cos²$\frac{B+C}{2}$=1，D为BC上一点，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$．
（1）求sinA的值；
（2）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知可得5sin²A-4sinA=0，结合范围A∈（0，π），即可解得sinA的值．
（2）由余弦定理可得c²-6c-7=0，解得c的值，利用平面向量的运算可求$\overrightarrow{AD}$²的值，进而可求AD的值．

解答 解：（1）∵sinA+cos²$\frac{B+C}{2}$=1，
∴sinA+$\frac{1+cos（B+C）}{2}$=1，即2sinA-cosA=1，…2分
∴（2sinA-1）²=cos²A，即5sin²A-4sinA=0，
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=$\frac{3}{5}$…6分
（2）∵a=4$\sqrt{2}$，b=5，cosA=$\frac{3}{5}$，
∴由余弦定理可得：32=25+c²-2×5c×$\frac{3}{5}$，即：c²-6c-7=0，解得：c=7，…10分
∵$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$²=$\frac{{c}^{2}}{16}$+$\frac{9{b}^{2}}{16}$+$\frac{3}{8}$bccosA=$\frac{49}{16}$+$\frac{9}{16}×25$+$\frac{3}{8}×7×5×\frac{3}{5}$=25，…12分
∴AD=5…14分

点评 本题主要考查了降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，余弦定理，平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．