Question

已知数列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

的前n项和为S_n．
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄，根据计算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明；
（2）试用其它方法求S_n．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的求和

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_k=

k

3k+1

，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立；
（2）利用裂项法，可求S_n．

解答： 解：（1）因为 S1=

1

1×4

=

1

4

；S2=

1

4

+

1

4×7

=

2

7

；S3=

2

7

+

1

7×10

=

3

10

；S4=

3

10

+

1

10×13

=

4

13

．
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1．于是猜想Sn=

n

3n+1

．…（6分）
下面用数学归纳法证明这个猜想．
ⅰ当n=1时，左边=S1=

1

4

，右边=

n

3n+1

=

1

3×1+1

=

1

4

，猜想成立．
ⅱ假设n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3k-2)(3k+1)

=

k

3k+1

，
那么

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3k-2)(3k+1)

+

1

[3(k+1)-2)][3(k+1)+1]

=

k

3k+1

+

1

[3(k+1)-2)][3(k+1)+1]

=

3k2+4k+1

(3k+1)(3k+4)

=

(3k+1)(k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

．
所以当n=k+1时，猜想也成立．
根据ⅰ和ⅱ，可知猜想对任何n∈N^*时都成立．…（12分）
（2）

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

{(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)}
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

…（16分）

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推．