Question

11．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=-x³+1；②y=2^x；③$y=\left\{{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}}\right.$；④$y=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+4x，x≥0}\\{-{x^2}+x，x＜0}\end{array}}\right.$．以上函数为“Z函数”的序号为②④，．

Answer 1

分析 利用已知条件推出函数的单调性，然后判断即可．

解答 解：定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），
可得：x₁[f（x₁）-f（x₂）]＞x₂[f（x₁）-f（x₂）]，
即（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，
∴函数f（x）为“Z函数”．就是增函数．
①y=-x³+1；是减函数，不是“Z函数”．
②y=2^x；是增函数，是“Z函数”．
③$y=\left\{{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}}\right.$；表示增函数，不是“Z函数”．
④$y=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+4x，x≥0}\\{-{x^2}+x，x＜0}\end{array}}\right.$．函数是增函数，是“Z函数”．
故答案为：②④．

点评 本题考查函数的新定义，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．