Question

1．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2-m）+f（-m）+2m-2≥0，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 利用构造法g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-x²+f（-x）=0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
则g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．
f（2-m）+f（-m）+2m-2≥0等价于f（2-m）-$\frac{1}{2}$（2-m）²≥f（m）-$\frac{1}{2}$ m²，
即g（2-m）≤g（m），
∴2-m≤m，解得m≥1
故选：B

点评 本题考查的知识点是全称命题，利用导数研究函数的单调性，难度中档．