Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+2=2a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$，c_n=$\frac{\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$，求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，c_n=$\frac{\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，采用“裂项法”即可求得数列{c_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）由S_n+2=2a_n，n∈N^*，
当n=1时，a₁+2=2a₁，a₁=2，（1分）
当n≥2时，S_n-1+2=2a_n-1，
a_n=S_n-S_n=（2a_n-2）-（2a_n-1-2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，（4分）
∴{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，n∈N^*；（6分）
（2）b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，（7分）
c_n=$\frac{\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{n（n+1）}}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n（n+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，（10分）
数列{c_n}的前n项和为T_n，T_n=c₁+c₂+…+c_n=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
 数列{c_n}的前n项和为T_n=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$．（12分）

点评 本题考查等比数列的通项公式，采用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．