Question

18．已知二次函数f（x）=x²+mx+n．
（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的前提下，函数$g（x）=\frac{6x}{f（x）}$，解关于x的不等式g（2^x）＞2^x；
（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[-1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义和函数的最值即可求出函数的解析式，
（2）设t=2^x，t＞0，原不等式化为t＜$\sqrt{5}$，即可求出不等式的解集，
（3）分别赋值x=0，-1，1时，即可求出k的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴x²-mx+n=x²+mx+n，
∴m=0，
∵f（x）是偶函数且最小值为1，
∴n=1
∴f（x）=x²+1，
（2）∵$g（x）=\frac{6x}{f（x）}$=$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$，g（2^x）＞2^x，设t=2^x，t＞0，
∴$\frac{6t}{{t}^{2}+1}$＞t，
∴t²＜5，
∴t＜$\sqrt{5}$，
∴2^x＜$\sqrt{5}$，
解得x＜$\frac{1}{2}$log₂5，
故解集是$\left\{{\left.x\right|x＜\frac{1}{2}{{log}_2}5}\right\}$
（3）令x=1，则|1+m+n|≤M，则-M≤1+m+n≤M①
令x=-1，则|1-m+n|≤M，则-M≤1-m+n≤M②
令x=0，则|n|≤M，则-M≤n≤M③
由①+②-2×③得，$M≥\frac{1}{2}$．当且仅当$m=0，n=-\frac{1}{2}$时等号成立．
因此${k_{max}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，以及不等式的解集，以及函数恒成立的问题，属于中档题．