Question

2．拟用长度为l的钢筋焊接一个如图所示的矩形框架结构（钢筋体积、焊接点均忽略不计），其中G、H分别为框架梁MN、CD的中点，MN∥CD，设框架总面积为S平方米，BN=2CN=2x米．
（1）若S=18平方米，且l不大于27米，试求CN长度的取值范围；
（2）若l=21米，求当CN为多少米时，才能使总面积S最大，并求最大值．

Answer 1

分析 （1）设AB=y米，BC=3x米，求得框架的总面积和总长度，根据题意得到不等式组，即可得到所求长度的范围；
（2）运用矩形的面积公式，可得面积S的二次函数，配方即可得到所求最大值和所求长度．

解答 解：（1）设AB=y米，BC=3x米，
框架总面积为3xy，
框架总长度为3y+7x米，
故$\left\{\begin{array}{l}{3xy=18}\\{3y+7x≤27}\end{array}\right.$          （每写出一个给2分） …（4分）
所以有$\frac{18}{x}$+7x≤27，
故7x²-27x+18≤0，
解得$\frac{6}{7}$≤x≤3；                                      …（7分）
（2）由（1）知3y+7x=21，
即y=7-$\frac{7}{3}$x（0＜x＜3）…（10分）
S=3xy=3x（$\frac{21-7x}{3}$）
=7（-x²+3x）=7[-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]…（12分）
故当x=$\frac{3}{2}$时，S有最大值$\frac{63}{4}$ 平方米           …（14分）
答：（1）满足条件的CN长度的取值范围为[$\frac{6}{7}$，3]单位米．
（2）当CN=$\frac{3}{2}$米时，框架的总面积最大，最大值$\frac{63}{4}$平方米…（16分）
（备注：没有范围的扣（2分），二次函数没有配方的或没有指明对称轴的扣（2分），
答中没有单位的扣2分）

点评 本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查二次函数的最值和二次不等式的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．