Question

13．已知A，B，P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足$4\overrightarrow{OP}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{3+\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{3-\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得，x与y的关系，化简所求的表达式，展开利用基本不等式即可求解．

解答 解：A、B、P是直线l上三个点，且正实数x，y满足$4\overrightarrow{OP}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，
可得：$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=1$，
则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}$）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$+$\frac{x}{2y}$+$\frac{y}{4x}$
≥$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$+2$\sqrt{\frac{x}{2y}•\frac{y}{4x}}$=$\frac{3}{4}$$+\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{x}{2y}=\frac{y}{4x}$，即y=$\sqrt{2}$x，
此时x=4-2$\sqrt{2}$，y=4$\sqrt{2}$-4时取等号．
故选：B．

点评 本题主要考查了向量的共线定理的应用，基本不等式求解最值的应用，解题的关键是$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$y=1．