题目内容
2．已知矩阵$A=[{\begin{array}{l}2&a\\ 2&1\end{array}}]（{a∈R}）$的一个特征值为-1，求矩阵A的另一个特征值及对应的特征向量．分析 写出矩阵的特征多项式，利用特征值求出a，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ=4．最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量．
解答 解：矩阵的特征多项式是f（λ）=（λ-2）（λ-1）-2a，
由f（-1）=0得a=3，即f（λ）=λ2-3λ-4，
令f（λ）=0，则λ=-1或λ=4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（λ-2）x-3y=0}\\{-2λ+（λ+1）y=0}\end{array}\right.$，可得2x-3y=0，
所以矩阵A的另一个特征值是4，属于4的一个特征向量是$[\begin{array}{l}{3}\\{2}\end{array}]$．
点评 本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题．
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如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．
如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，且$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FB}$=2，将此正方形沿DE，DF折起，使点A，C重合于点P，若O为线段EF任一点，DO与平面PEF所成的角为θ，则tanθ的最大值是$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．
13．已知A，B，P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x，y满足$4\overrightarrow{OP}=2x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为（ ）
| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{4}$ | C． | $\frac{{3+\sqrt{2}}}{4}$ | D． | $\frac{{3-\sqrt{2}}}{4}$ |
14．某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取50名文科学生，调查对选做题倾向得下表：
（Ⅰ）从表中三种选题倾向中，选择可直观判断“选题倾向与性别有关系”的两种，作为选题倾向变量的取值，分析有多大的把握认为“所选两种选题倾向与性别有关系”．（只需要做出其中的一种情况）
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．
（ⅰ）分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；
（ⅱ）若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．
| 倾向“平面几何选讲” | 倾向“坐标系与参数方程” | 倾向“不等式选讲” | 合计 | |
| 男生 | 16 | 4 | 6 | 26 |
| 女生 | 4 | 8 | 12 | 24 |
| 合计 | 20 | 12 | 18 | 50 |
（Ⅱ）按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．
（ⅰ）分别求出抽取的8人中倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数；
（ⅱ）若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
| P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
如图，在三棱锥A-BCD中，三条棱AB、BC、CD两两垂直，且AD与平面BCD成45°角，与平面ABC成30°角．