Question

设点P在曲线y=e^x+1上，点Q在曲线y=-1+lnx上，则|PQ|最小值为（　　）

• A、

  2

• B、2

  2

• C、

  2

  （1+ln2）
• D、

  2

  （1-ln2）

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：由于y=e^x+1与y=-1+lnx互为反函数，利用反函数的性质先求出曲线y=e^x+1上的点到直线y=x的最小距离，即可得出．

解答： 解：∵y=e^x+1与y=-1+lnx互为反函数，
先求出曲线y=e^x+1上的点到直线y=x的最小距离．
设与直线y=x平行且与曲线y=e^x+1相切的切点P（x₀，y₀）．
y′=e^x+1，ex0+1=1，解得x₀=-1．∴y₀=e^-1+1=1．
得到切点P（-1，1），到直线y=x的距离d=

|-1-1|

2

=

2

．
∴|PQ|最小值为2

2

．
故选：B．

点评：本题考查了反函数的性质、利用导数研究切线的斜率、点到直线的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．