Question

12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
（2）设P为曲线C上的动点，利用参数方程，求点P到直线l的距离的最小值．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$化为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=4$\sqrt{2}$，
化成直角坐标方程为：x+y-8=0；
（2）P（$\sqrt{2}$cosα，sinα）到直线x+y-8=0的距离d=$\frac{|\sqrt{2}cosα+sinα-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{3}sin（α+θ）-8|}{\sqrt{2}}$，
∴sin（α+θ）=1时，d的最小值为$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．