Question

6．根据市场调查，某种新产品投放市场的30天内，每件的销售价格p（千元）与时间x（天）组成有序数对（x，p），点（x，p）落在下图中的两条线段上，且日销售量q（件）与时间x（天）之间的关系是q=-x+60（x∈N^*）．
（Ⅰ） 写出该产品每件销售价格p〔千元）与时间x（天）之间的函数关系式；
（Ⅱ） 在这30天内，哪一天的日销售金额最大？（日销售金额=每件产品的销售价格×日销售量）

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据已知条件，利用分段函数写出该产品每件销售价格p〔千元）与时间x（天）之间的函数关系式；
（Ⅱ）利用分段函数通过二次函数以及函数的单调性分别求解最值，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）根据图象，每件的销售价格p与时间x的函数关系为：$p=\left\{\begin{array}{l}{x+400（0＜x≤20，x∈{N}^{•}）}\\{60（20＜x≤30，x∈{N}^{•}）}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）设第x天的日销售金额为y（千元），则y=$\left\{\begin{array}{l}{（x+40）（-x+60），（0＜x≤20，x∈{N}^{•}）}\\{60（60-x），（20＜x≤30，x∈{N}^{•}）}\end{array}\right.$，
即y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+20x+2400，0＜x≤20，x∈{N}^{•}}\\{-60x+3600，20＜x≤30，x∈{N}^{•}}\end{array}\right.$．
当0＜x≤20，x∈N^*时，y=-x²+20x+2400=-（x-10）²+2500，∴当x=10时，y_max=2500，
当20＜x≤30，x∈N^*时，y=-60x+3600是减函数，∴y＜-60×20+3600=2400，
因此，这种产品在第10天的日销售金额最大．

点评 本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．