Question

17．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k₁x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是$g（x）={k_2}\sqrt{x}$，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．
（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

Answer 1

分析 （1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5，由此能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=$\frac{1}{4}（10-x）+\frac{5}{4}\sqrt{x}$，x≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．

解答 解：（1）设投资为x万元，
由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k₁=$\frac{1}{4}$，k₂=$\frac{5}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x，x≥0．g（x）=$\frac{5}{4}\sqrt{x}$，x≥0；
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，
记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=$\frac{1}{4}（10-x）+\frac{5}{4}\sqrt{x}$，x≥0．
设$\sqrt{x}$=t，则x=t²，0≤t≤$\sqrt{10}$
∴y=-$\frac{1}{4}（t-\frac{5}{2}）^{2}+$$\frac{65}{16}$，
当t=$\frac{5}{2}$，也即x=$\frac{25}{4}$时，y取最大值$\frac{65}{16}$．
答：对股票等风险型产品B投资$\frac{25}{4}$万元，对债券等稳键型产品A投资$\frac{15}{4}$万元时，可获最大收益$\frac{65}{16}$万元．

点评 本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．