Question

已知函数f x=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x
（1）若f（α）=5，求tanα的值；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（x）在（0，B）上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得解析式f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4由f（α）=2sin（2α+

π

6

）+4=5，根据万能公式可解得tanα的值．
（2）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可求得B=

π

6

．从而可得2x+

π

6

∈（

π

6

，

π

2

），即可求出函数f（x）在（0，B）上的最大值为6，最小值为5．

解答： 解：（1）∵f（x）=3sin²x+2

3

sinxcosx+5cos²x
=

3

2

（1-cos2x）+

3

sin2x+

5

2

（1+cos2x）
=4+

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）+4
∴f（α）=2sin（2α+

π

6

）+4=5，可解得sin（2α+

π

6

）=

1

2

，即有

3

sin2α+cos2α=1
∴可得

2 3 tanα

1+tan2α

+

1-tan2α

1+tan2α

=1，从而解得tanα=

3

或0．
（2）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

．
∵x∈（0，

π

3

），∴2x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴sin（2x+

π

6

）∈（

1

2

，1）
∴2sin（2x+

π

6

）+4∈（5，6）
∴函数f（x）在（0，B）上的最大值为6，最小值为5．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．