题目内容
【题目】如图，四边形
是等腰梯形，且
，
，
，四边形
是矩形，
，点
为
上的一动点.
（1）求证：
；
（2）当
时，求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明
，
得到
平面
，得到证明.
（2）分别以直线
，
，
为
轴，
轴，
轴建立如图所示空间直角坐标系，
是平面
的一个法向量，
是平面
的一个法向量，计算夹角得到答案.
（1）在等腰梯形
中，∵
，∴
，
∴
，又
，∴
，
∴
，
，∴.
∵四边形是矩形，∴
，又
，
，
∴
平面.∴.
∵，
，∴平面.
∵
平面，∴
.
（2）由（1）可知，，两两垂直，
分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
∵
，
，
.
则
，
，
，
.
∴
，
.
设
为平面的一个法向量，由
得
，
取
，则.
∵是平面的一个法向量，
设所求二面角为
，
.
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【题目】某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表：
未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 | |
未注射 | 10 | x | A |
注射 | 40 | y | B |
总计 | 50 | 50 | 100 |
现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为
．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
附：
P（K2≥k0） | 0.10 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 6.635 | 10.828 |
